布里格斯的《对数算术》与对数表的製作(III)

T卫生活 577浏览 32评论 来源:申博官网备用网址_金沙2278jscom

连结:布里格斯的《对数算术》与对数表的製作(II) 

《对数算术》第 $$8$$ 章

在第 $$6$$、$$7$$ 两章中,布里格斯为了处理连续开方,需要花费相当大的时间与精力在作开方的计算上。因此,他需要有个方法可以帮助他减少计算量,他将使用的方法写在第 $$8$$ 章,称为差分法(difference method)。

布里格斯在作开方时,发现一个 $$1$$ 点多的数开方,小数部分的值几乎是原本的二分之一,藉由这样的观察,他利用与一半的「差距」,用一系列的演算法求得连续开方的下一项,以减少庞大的开方工作量。

首先,布里格斯选择作连续几次平方根后,小数点后面有 $$3$$ 或 $$4$$ 个 $$0$$ 之数为起始值,

分别计算 $$B,C,D,E,F$$ 等栏位的值,他们之间的关係如下:

布里格斯的《对数算术》与对数表的製作(III)

他从 $$6^9/10^7=1.0077696$$ 开始作连续开方,其中 $$1+A_n$$ 表示作第 $$n$$ 次开方的值,

并依序计算相对应的 $$B,C,D,E,F$$ 等栏位的值。

作到第 $$9$$ 次时,其值为 $$1+A_9=1.00001511646599905672950488$$,

小数点后有 $$4$$ 个 $$0$$,

接着计算 $${B_9} = \frac{1}{2}{A_8} – {A_9},{C_9} = \frac{1}{4}{B_8} – {B_9},{D_9} = \frac{1}{8}{C_8} – {C_9},{E_9} = \frac{1}{16}{D_8} – {D_9}$$,

而 $${F_9} = \frac{1}{32}{E_8} – {E_9}\approx 0$$,因此取 $$F_{10}=0$$,往回推得 $${E_{10}} = \frac{1}{{32}}{E_9} \approx 6.5 \times {10^{ – 26}}$$;

再由 $${E_{10}} = \frac{1}{{16}}{D_9} – {D_{10}}$$ 与 $$D_9$$ 的值算得 $$D_{10}$$,

依此演算法往回类推计算,依序得 $$C_{10},B_{10}$$,最后得 $$A_{10}$$,即得下一个开方数值,

布里格斯的演算程序如图三。

布里格斯的《对数算术》与对数表的製作(III)

布里格斯接着提供另一种只牵涉到小数部分次方的计算方式。

下面以现代符号来解释:

设 $$1+A_n=1+x$$,那幺 $$1+A_{n-1}=(1+x)^2,1+A_{n-2}=(1+x)^4$$ 等等,

有需要时可往上一直平方,此时分别计算 $$B_n,C_n,D_n,E_n$$ 如下:

$${B_n} = \frac{1}{2}{A_{n – 1}} – {A_n} = \frac{1}{2}(2x + {x^2}) – x = \frac{1}{2}{x^2}$$

$${C_n} = \frac{1}{4}{B_{n – 1}} – {B_n} = \frac{1}{4}(2{x^2} + 2{x^3} + \frac{1}{2}{x^4}) – \frac{1}{2}{x^2} = \frac{1}{2}{x^3} + \frac{1}{8}{x^4}$$

$${D_n} = \frac{1}{8}{C_{n – 1}} – {C_n} = \frac{7}{8}{x^4} + \frac{7}{8}{x^5} + \frac{7}{{16}}{x^6} + \frac{1}{8}{x^7} + \frac{1}{{64}}{x^8}$$

$${E_n} = \frac{1}{{16}}{D_{n – 1}} – {D_n} = \frac{{21}}{8}{x^5} + 7{x^6} + \frac{{175}}{{16}}{x^7} + \frac{{21}}{8}{x^8} + \cdots $$

依上述演算法的程序代入计算,可得

$$\begin{array}{ll} (1+x)^{1/2}=1+A_{n+1} &= 1+\frac{1}{2}A_n-B_{n+1}\\&=1+\frac{1}{2}A_n-\frac{1}{4}B_{n}+C_{n+1}\\&=1+\frac{1}{2}A_n-\frac{1}{4}B_n+\frac{1}{8}C_n-D_{n+1}\\&=1+\frac{1}{2}A_n-\frac{1}{4}B_n+\frac{1}{8}C_n-\frac{1}{16}D_{n}+\frac{1}{32}E_n\\&\approx 1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}(\frac{1}{2}x^2)+\frac{1}{8}(\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{8}x^4)-\frac{1}{16}(\frac{7}{8}x^4+\frac{7}{8}x^5+\frac{7}{16}x^6+\frac{1}{8}x^7+\frac{1}{64}x^8)+\frac{1}{32}(\frac{21}{8}x^5+7x^6+\frac{175}{16}x^7+\frac{21}{8}x^8+\cdots)\\&=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{16}x^3-\frac{5}{128}x^4+\frac{7}{256}x^5+\cdots\end{array}$$

这个式子跟我们利用牛顿二项式定理展开 $$(1+x)^{1/2}$$,$$|x|\le 1$$ 时的结果,在前面几项的部分完全正确。

在《对数算术》后面几章,布里格斯需要将对数表中其他的洞补齐,第 $$11$$ 章为线性内插法;第 $$12$$ 与 $$13$$ 章利用第 $$8$$ 章所使用的差分法,计算两个已知对数值的数之间其他数的对数值;第 $$14$$ 章由已知对数值 $$L$$ 反求真数 $$N$$,或是反过来,真数 $$N$$ 已知,利用一系列逼近 $$N$$ 的近似值之对数值,求其对数值 $$L$$。

在教学的应用上,布里格斯在第 $$5$$、$$6$$、$$7$$ 章中所使用的方法,可以利用学习单的形式让学生实际计算,让学生经由 $$\log 2,\log 3$$ 这些计算过程,进一步体会指数与对数的关係,也让学生经由 $$\log 2,\log 3$$ 等等的计算,赋予对数实质上的意义。

参考资料:

与本文相关的文章