布里格斯的《对数算术》与对数表的製作(II)

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《对数算术》第 $$5$$~$$7$$ 章

第 $$5$$ 章到第 $$8$$ 章为计算以 $$10$$ 为底的对数的主要方法。在第 $$5$$ 章中所提的方法,布里格斯将它归功于纳皮尔。他以 $$\log 5$$ 与 $$\log 7$$ 为例,说明小一点的质数如何求其对数值。考虑 $$\log 2$$,先计算 $$2$$ 的次方,并标明其位数。

为了使对数值精确到小数点后第 $$14$$ 位,布里格斯计算到了 $$2^{10^{14}}$$;不过,他也不是每个都算,而是以四个数一组,每次都计算次方为 $$2\times 10^k,4\times 10^k,8\times 10^k,10\times 10^k$$ 的四个数的位数,如下图一。在计算位数时,布里格斯并没有将每个数完整算出后计算,他利用了下面这个性质:如要计算两数相乘后的位数,考虑这两数的首几位数字,相乘后的位数不是两者位数相加,就是两者位数相加再减 $$1$$,如下图二。

布里格斯的《对数算术》与对数表的製作(II)

图一

布里格斯的《对数算术》与对数表的製作(II)

图二

当 $$2^{10^{14}}$$ 的位数为 $$M$$ 时,因为 $$\log {2^{{{10}^{14}}}} = {10^{14}} \cdot \log 2 = (M – 1) + \log N$$,

所以 $$\log 2 = \frac{{M – 1}}{{{{10}^{14}}}} + \frac{{\log N}}{{{{10}^{14}}}}$$ ,后面的 $$\frac{{\log N}}{{{{10}^{14}}}}$$ 太小忽略不计,因此可得 $$\log 2 \approx \frac{{M – 1}}{{{{10}^{14}}}}$$ 。

布里格斯计算所得的 $$M$$ 为 $$3010,29995,66399$$,

故可得 $$\log 2 \approx 0.030102999566398$$。

在第 $$6$$ 章与第 $$7$$ 章中,他使用所谓的连续开方法(continued mean number)。

在第 $$6$$ 章中,他先利用这个方法找出 $$1+x$$ 的对数值,其中 $$x>0$$ 但很接近于 $$0$$。

他先将 $$10$$ 连续开平方根,即在 $$1$$ 和 $$10$$ 之间一直求几何平均数:

$$\sqrt {1 \cdot 10}= {10^{\frac{1}{2}}},\sqrt{1\cdot\sqrt{10}}={10^{\frac{1}{4}}},\sqrt {1\cdot 10^{1/4}}={10^{\frac{1}{8}}}\cdots$$;

他为了要使得到的对数正确到小数点后 $$14$$ 位,

因此他计算到小数点后的 $$0$$ 与这些 $$0$$ 之后的数字有相同的位数,

因此连续开方 $$54$$ 次,计算到 $$10^{1/2^{54}}=r=1+\Delta$$,

其中 $$\Delta=0.0(15)12781,91493,20032,3442$$
(注:$$0(15)$$ 中的 $$15$$ 表示在小数点后有 $$15$$ 个 $$0$$);

同时也从 $$1$$ 开始连续除以 $$2$$,计算了 $$54$$ 次,

得到 $$\frac{1}{2^{54}}=0.0(16)555111512312578270212$$,令其值为 $$l$$,

取对数之后,可得 $$\log r=\log(1+\Delta)=l$$ 为已知,此时 $$\Delta$$ 是个很小的数。

从前面第 $$2$$ 章的定理知道真数的次方 $$(r^n)$$ 与对数值 $$(nl)$$ 间有比例关係;

又因为 $$\Delta$$ 足够小,因此有下面的对应关係:

布里格斯的《对数算术》与对数表的製作(II)

可知真数去掉 $$1$$ 之后的小数与对数值之间亦有同样的比例关係。

他举例说明了这样的比例关係如何使用:

布里格斯的《对数算术》与对数表的製作(II)

按照比例关係,$$P$$ 与 $$X$$ 去掉 $$1$$ 之后的值与其对数值成比例,即

$$0.0000000000000001278191493200323442:0.0000000000000001=0.0000000000000000555111512312578270212:\log X$$

因此可得 $$\log X=0.0000000000000000434294481903251804$$

因此,当真数为 $$1+\delta$$,$$\delta$$ 是个很小的正数时,若设 $$\delta=t\Delta$$(即 $$t=\frac{\delta}{\Delta}$$),

可得 $$\log(1+\delta)\approx tl\approx \frac{l}{\Delta}\delta$$;

若再令 $$k=\frac{l}{\Delta}$$,$$k$$ 就成了一已知的常数值,可用于类似的对数求值,

因此布里格斯可得到一个简单好用的工具:$$\log(1+\delta)=k\delta$$。

接着在第 $$7$$ 章中,布里格斯利用这个结果来计算 $$\log 2,\log 3$$ 的值。

以 $$\log 2$$ 为例,他首先计算 $$\log 1.024$$ 的值:

因为若 $$\log 1.024=P$$ 为已知,

则有 $$\log 1.024 = \log \frac{{1024}}{{1000}} = 10\log 2 – 3 = P$$,那幺 $$\log 2 = \frac{{P + 3}}{{10}}$$。

利用第 $$6$$ 章的连续开方法,

他将 $$1.024$$ 连续开方,作到第 $$47$$ 次,才使得其值小数点后有 $$15$$ 个 $$0$$,

即 $$(1.024)^{1/2^{47}}=1.0(15)16851605705394977$$,

令其值为 $$1+\delta~(\delta=0.0(15)16851605705394977)$$,

因此 $$\log(1.024)^{1/2^{47}}=\log(1+\delta)\approx k\delta$$,其中 $$k$$ 是第 $$6$$ 章算出来的已知常数。

如此一来就可求得 $$\log 1.024=2^{47}\times k\delta$$,

最后他计算得 $$\log 2=0.30102,99956,63981,195$$。同理可算得 $$\log 3$$ 的值。

在这一章最后,他利用前几章所得到的对数性质计算 $$\log 5$$ 与 $$\log 6$$,

特别在计算 $$\log 6$$ 时用了 $$\frac{6^9}{10^7}$$,这个数关联到下一章的方法。

另外,值得一提的是布里格斯选择一个与 $$1$$ 足够接近的数 $$10^{\frac{1}{2^{54}}}$$,

根据他的算法距离,我们发现自然对数的底 $$e$$ 这个常数只剩一步之遥而已。

设 $$10^{\frac{1}{2^n}}=1+x$$,其中 $$x$$ 是个很小的数。

由于 $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$$,故当 $$x$$ 很小时,$$\ln(1+x)\approx x=\frac{1}{2^n}\times \ln 10$$。

在布里格斯的计算中,$$10^{\frac{1}{2^{54}}}=1+\Delta$$,令 $$\frac{1}{2^{54}}=l$$,因此 $$\ln(1+\Delta)\approx \Delta=l\times \ln 10$$,

亦即布里格斯计算的常数 $$\frac{l}{\Delta } = \frac{1}{{\ln 10}} = \log e$$。

当然此时的布里格斯并不知道 $$\ln(1+x)$$ 的展开式。虽说是一步,却也是需要跨过一道坎的一步啊。

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