布里格斯与欧拉求 log2 近似值的方法( Methods

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摘要:本文说明布里格斯(Briggs)与欧拉(Euler)求 $$\log 2$$ 近似值的方法。

布里格斯的方法

今日以 $$10$$ 为底的常用对数是布里格斯(Henry Briggs, 1561~1630)在读完纳皮尔(John Napier, 1550~1617)1614 年的《对数的奇妙準则》(Mirifici logarithmorum canonis descriptio)后,向纳皮尔提出的修正。布里格斯在其1624年发表的着作《对数算术》中,利用 $$2^n$$ 的位数来求 $$\log2$$ 的近似值。

以今日的符号来说明,当 $$n=10$$ 时的求法:

$$2^{10}=1024=1.024\times 10^3\\\Rightarrow 10\cdot\log 2=\log 1.024+3\\\Rightarrow \log 2=\frac{1}{10}\cdot\log 1.024+0.3\approx 0.3$$

利用这个简单的想法,只要能求出足够大的 $$2^n$$ 之位数,就可以算得 $$\log2$$ 的近似值。布里格斯他算出 $$2$$ 的 $$100$$ 兆次方是 $$30,1029,9956,6399$$ 位数,利用上述的方法,

$$2^{10^{14}}=N\times 10^{30,1029,9956,6399-1}$$

其中 $$1

$$\Rightarrow \log 2\approx 0.30102999566398$$

左下表是布里格斯书上的表格(源自 Ian Bruce的网站「Some Mathematical Works of the 17th & 18th Centuries Tanslated mainly from Latin into English」,网址

$$2^2$$ 的平方是 $$2^4$$,$$2^4$$ 的平方是 $$2^8$$,$$2^8\times 2^2=2^{10}$$,再将 $$2^{10}$$ 平方后就可得 $$2^{20}$$,重複上述步骤,就可以得到 $$2^{100}$$、$$2^{1000}$$、$$2^{10000}$$

表格的左行就是 $$2^n$$ 的值,但是,布里格斯最多只写出前 $$15$$位,例如:

$$2^{80}$$ 是 $$25$$ 位数,其前 $$15$$ 位数字为 $$12089,25819,61463$$,然后,再利用这 $$15$$ 位数字与 $$2^{20}$$ 相乘,就得到乘积 $$2^{100}$$ 的前 $$15$$ 位数字约为 $$12676,50600,22823$$,再利用 $$2^{100}$$ 的前 $$15$$ 位数字自乘,得到 $$2^{200}$$ 的前 $$15$$ 位数字,$$\cdots$$,最后,得到 $$2^{10000}$$(原表格将次方误植为 $$1000$$)的前 $$15$$ 位数字约为 $$19950,63116,87912$$

至于表格中的最右行,就是布里格斯利用其计算所得到 $$2^n$$ 的位数,简单的计算法则是 「若 $$A$$ 为 $$m$$ 位数,$$B$$ 为 $$n$$ 位数,则 $$A\times B$$ 为 $$m+n$$ 或 $$m+n-1$$ 位数」。布里格斯就是这幺一路求到 $$2$$ 的 $$100$$ 兆次方。

布里格斯与欧拉求 log2 近似值的方法( Methods

欧拉的方法

欧拉(Leonhard Euler, 1707~1783)在其1748年出版的着作《无限解析入门》 (Introductio in analysin infinitorum)中的第六章〈论指数与对数〉,介绍求常用对数值的方法,他以 $$\log5$$ 为例(见右上图,源自Ed Sandifer 之〈How Euler Did It: Finding logarithms by hand〉) ,说明如下:

步骤 $$1:$$ 设 $$A=1,B=10$$,且令 $$C=\sqrt{AB}=\sqrt{10}\approx 3.162277$$,由 $$\log A=0,\log B=1$$ 知 $$\log C=\frac{1}{2}(\log A+\log B)=\frac{1}{2}(0+1)=0.5$$

步骤 $$2:$$ 因为 $$C<5

步骤 $$3:$$ 因为 $$C<5故令 $$E=\sqrt{CD}\approx\sqrt{3.162277\times 5.623413}\approx 4.216964$$,
由 $$\log C=0.5,\log D=0.75$$
知 $$\log E=\frac{1}{2}(\log C+\log D)=\frac{1}{2}(0.5+0.75)=0.625$$

$$\vdots$$

步骤 $$22:$$ 因为 $$X=4.999997<5<5.000003=Y$$,
故令 $$Z=\sqrt{XY}\approx\sqrt{4.999997\times 5.000003}\approx 5.000000$$,
由 $$\log X=0.6989697,\log Y=0.6989702$$
知 $$\log Z=\frac{1}{2}(\log X+\log Y)=\frac{1}{2}(0.6989697+0.6989702)=0.6989700$$

至此,欧拉求出 $$\log5$$ 的近似值为 $$0.6989700$$,然后再利用 $$\log2=1-\log5$$ 求得 $$\log2$$ 的近似值。

布里格斯与欧拉求 log2 近似值的方法( Methods

欧拉的这个方法就是利用不断地开根号求近似值来逼近 $$5$$,如上图示意图,然后再利用对数性质「$$x=\sqrt{yz}\Rightarrow \log x=\frac{1}{2}(\log y+\log z)$$」求出 $$\log5$$的近似值。

此法的麻烦之处就在于开根号求近似值,然而,对当时的数学家、天文学家等来说,这是必备且熟练的技能,他们一点都不会觉得困难,只是需要一点时间而已。

一样在《无限解析入门》这本书中,欧拉在第七章〈用级数表现指数与对数〉介绍了利用级数求自然对数值的方法,而这大抵就是许多人在大学微积分课中所学到的:

$$\displaystyle \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}+\cdots$$

$$\displaystyle \ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}-\cdots$$

$$\begin{array}{ll}\displaystyle \ln\frac{1+x}{1-x}&\displaystyle=\ln(1+x)-\ln(1-x)\\&\displaystyle=2(x+\frac{x^3}{x}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\cdots),~~~-1

级数$$(*)$$收敛速度很快,所以用它再加上点小聪明选择适当的 $$x$$ 值,就可以容易地求出所需要的自然对数值。例如 $$x$$ 值分别取 $$\frac{1}{5}$$ 与 $$\frac{1}{7}$$,就可得到 $$\ln\frac{3}{2}$$ 与 $$\ln\frac{4}{3}$$ 的近似值,然后将它们相加起来,就可以得到$$\ln\frac{3}{2}+\ln\frac{4}{3}=(\ln3-\ln2)+(2\ln2-\ln3)=\ln2$$ 的近似值了。

参考资料:

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